Rangkuman, soal dan Pembahasan Irisan Kerucut Hiperbola Matematika Peminatan

Sub episode selanjutnya ya dari bahan irisan kerucut yaitu hiperbola. cukup sulit dibandingkan subbab sebelumnya yaitu elips dan parabola.

tapi jangan khawatir disini mimin akan membantu menyediakan refrensi buat temen-temen untuk kita pelajari bersama-sama. biar bahan irisan kerucut hiperbola ini dapat membantu ya. . .

Rangkuman, soal dan pembahasan irisan kerucut hiperbola

1. Irisan Kerucut

Irisan kerucut ialah kawasan kedudukan titik-titik pada bidang yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis selalu tetap.

Salah satu jenis irisan kerucut ini ialah hiperbola. Hiperbola terjadi jikalau kerucut diiris 

sejajar dengan sumbu simetri.

a. Pengertian Hiperbola, 

Hiperbola ialah kawasan kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap. Dua titik tertentu itu disebut fokus hiperbola.

Gambar tersebut merupakan hiperbola yang berpusat di titik O(0,0).

• F1( -c, 0) dan F2(c, 0) ialah titik fokus hiperbola yang jaraknya 2c. Sementara selisih 

jarak yang tetap itu ialah 2a. 

• Sumbu utama ialah sumbu x, sedangkan sumbu sekawan ialah sumbu y.

• Sumbu mayor ialah A1A2, panjangnya 2a. Sumbu minor ialah B1B2, panjangnya 2b.

• Titik A1 dan A2 disebut titik puncak hiperbola yang merupakan titik potong hiperbola dengan sumbu mayor.

• Lactus rectum ialah garis vertikal yang melalui salah satu fokus, tegak lurus sumbu 

mayor, dan memotong hiperbola di dua titik. Panjang lactus rektum adalah 

2b2a

• Persamaan asimtot hiperbola adalah 

• Eksentrisitas = e = c/a , dengan e > 1.

• Persamaan garis direktriks adalah 

• Ketentuan khusus pada hiperbola yaitu c2 = a2 + b2.

b. Persamaan Hiperbola 

1. Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0)

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0) dengan sumbu utamanya sumbu x adalah

x2a2 − y2b2 = 1

Titik fokus ialah F1(c, 0) dan F2(-c, 0).

Titik puncak ialah A1(a, 0) dan A2(-a, 0).

Persamaan asimtotnya adalah

Bagaimana jikalau sumbu utamanya ialah sumbu y?

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (0, 0) dengan sumbu utamanya sumbu y adalah

y2a2 − x2b2 = 1

Titik fokus ialah F1(0, c) dan F2(0, -c).

Titik puncak ialah A1(0, a) dan A2(0, -a).

Persamaan asimtotnya adalah

Agar kau lebih paham, coba cermati teladan soal berikut.

Contoh 1:

Tentukan persaman asimtot dari persamaan 

x29−y216=1

Penyelesaian:

Coba perhatikan bahwa sumbu utama persamaan hiperbola ini ialah sumbu x. Akibatnya, a2 = 9 dan b2 = 16, sehingga a = 3 dan b = 4.

Persamaan asimtotnya adalah

2. Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q)

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q) dengan sumbu utamanya sejajar dengan sumbu x adalah

(x − p)2a2 − (y − q)2b2 = 1

Titik fokus ialah F1(p + c, q) dan F2(p – c, q).

Titik puncak ialah A1(p + a, q) dan A2(p – a, q).

Persamaan asimtotnya adalah

Bagaimana jikalau sumbu utama hiperbola sejajar dengan sumbu y?

Persamaan hiperbola yang berpusat di titik (p, q) dengan sumbu utama sejajar dengan sumbu y adalah

(y − q)2a2 − (x − p)2b2 = 1

Titik fokus ialah F1(p, q + c) dan F2(p, q – c).

Titik puncak ialah A1(p, q + a) dan A2(p, q – a).

Persamaan asimtotnya adalah

Agar kau lebih paham, coba cermati teladan soal berikut.

Contoh 2:

Sebuah hiperbola mempunyai persamaan 9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0.

Tentukan titik pusat, titik puncak, dan titik fokus hiperbola tersebut!

Penyelesaian:

Ayo, ubah bentuk persamaan tersebut ke dalam bentuk baku.

9x2 – 4y2 – 36x – 8y + 68 = 0

9x2 – 36x – 4y2 – 8y = –68

9(x2 – 4x + 4) – 4(y2 + 2y + 1) = –68 + 36 – 4

9(x – 2)2 – 4(y + 1)2 = –36

4(y + 1)2 – 9(x – 2)2 = 36

(y + 1)29 − (x − 2)24 = 1

Persamaan hiperbola ini memiliki sumbu utama yang sejajar dengan sumbu y dengan a2 = 

9 dan b2 = 4. Akibatnya, c2 = a2 + b2 = 9 + 4 = 13.

Titik sentra hiperbola ialah (2, -1).

Titik puncaknya ialah (2, -1 + 3) = (2, 2) dan (2, -1 – 3) = (2, -4).

Titik fokusnya adalah

2. Persamaan Garis Singgung Hiperbola Sebuah garis digambarkan pada sebuah hiperbola. Salah satu kedudukan yang mungkin antara garis itu dan hiperbola ialah garis menyinggung hiperbola. Coba perhatikan gambar berikut.

Pada gambar tersebut garis g menyinggung hiperbola pada titik R(x1, y1).

a. Persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada hiperbola

• Persamaan garis singgung pada suatu titik R(x1, y1) pada hiperbola

x2a2 − y2b2 = 1

adalah

x1xa2 − y1yb2 = 1

Agar kau lebih paham, coba cermati teladan soal berikut.

Contoh 3:

Coba tentukan persamaan garis singgung pada titik (9, 2) yang terletak pada hiperbola 

(y + 2)248 − (x − 5)212 = 1

Penyelesaian:

Persamaan garis singgungnya dapat dihitung menyerupai berikut.

(y 1− q)(y − q)a2 − (x1 − p)(x − p)b2= 1(2+ 2)(y + 2)48 − (9 − 5)(x − 5)12= 1(y + 2)12 − (x − 5)3= 1

y – 4x + 10 = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya ialah y – 4x + 10 = 0.

b. Persamaan garis singgung bergradien m pada hiperbola

Misalkan garis g yang menyinggung hiperbola tersebut bergradien m, maka:

17

x2100−y264=1

Agar kau lebih paham, coba cermati teladan soal berikut.

Contoh 4:

Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien 1 pada hiperbola 

x2100−y264=1

Penyelesaian:

Gradien m = 1

Persamaan garis singgungnya ialah sebagai berikut.

y=mx±a2m2−b2−−−−−−−−√y=x±100.1−64−−−−−−−−−√y=x±36−−√y=x±6

Jadi, persamaan garis singgungnya ialah y = x + 6 atau y = x – 6

Sekian ya rangkuman, soal dan pembahasan irisan hiperbola. biar dapat membantu. . .

Share this post