Rangkuman Materi Persamaan Kuadrat Lengkap dengan Soal dan Pembahasan

hey.. kali ini mimin mau bagiiin nih buat kau yang suka susah buat mencar ilmu matematika. ini mimin ada rangkuman bahan persamaan kuadrat buat kau yang sudah kelas 10. agar bahan persamaan kuadrat ini dapat membantu ya.

A. Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:

ax2 + bx + c = 0 ,   a, b dan c ialah bilangan real.

1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:

a)       memfaktorkan,

b)       melengkapkan kuadrat sempurna,

c)       menggunakan rumus.

a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax2 + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0.

Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

Contoh 1 :

Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0

Jawab:    x2 – 4 x + 3 = 0

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0

x = 3   atau    x = 1

Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 ialah 3 dan 1.

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)2 = x – 2.

Jawab:         (x – 2)2 = x – 2

x2 – 4 x + 4 =  x – 2

x2 – 5 x + 6 = 0

(x – 3) (x – 2) = 0

x – 3 = 0   atau   x – 2 = 0

x = 3   atau          x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah {3 , 2}.

Contoh 3 :

Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0.

Jawab:    2 x2 + 7 x + 6 = 0

2 x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0

2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(x + 2) (2 x + 3) = 0

x +2 = 0     atau  2 x + 3 = 0

x = –2   atau           x = – 1

Jadi, penyelesaiannya ialah  –2 dan –1.

b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.

Jawab:   x2 – 6 x + 5 = 0

x2 – 6 x + 9 – 4 = 0

x2 – 6 x + 9 = 4

(x – 3)2 = 4

x – 3 = 2  atau x – 3 = –2

x = 5    atau     x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari 2 x2 – 8 x + 7 = 0.

Jawab:   2 x2 – 8 x + 7 = 0

2 x2 – 8 x + 8 – 1 = 0

2 x2 – 8 x + 8 = 1

2 (x2 – 4 x + 4) = 1

2 (x – 2)2 = 1

(x – 2)2 = ½

x – 2 =    atau x – 2 = –

x = 2 + Ö2   atau x = 2 –Ö2

Jadi, penyelesaiannya ialah   2 + Ö2   dan   2 – Ö2.

c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2 + b x + c = 0 adalah

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.

Jawab:   x2 + 7x – 30 = 0

a = 1  ,  b = 7  ,  c = – 30

x = 3   atau   x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah {–10 , 3}.

2.      Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0  dengan akar-akarnya  ,  b2 – 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai  .

Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai  x tergantung dari nilai  D.

Apabila:

D > 0  maka  ÖD  merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan,       .

D = 0  maka  ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama.                .

D < 0  maka  ÖD  merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai

akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.

Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:

x2 + 5 x + 2 = 0

x2 – 10 x + 25 = 0

3 x2 – 4 x + 2 = 0

Jawab :

x2 + 5 x + 2 = 0

a = 1  ,  b = 5  ,  c = 2

D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17

Ternyata  D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0  mempunyai dua akar real berlainan.

x2 – 10 x + 25 = 0

a = 1  , b = -10  ,  c = 25

D = b2 – 4ac = (-10)2 – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0

Karena  D = 0, maka persamaan x2 – 10 x + 25 = 0  mempunyai dua akar real sama.

3 x2 – 4 x + 2 = 0

a = 3  ,  b = –4  ,  c = 2

D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8

Ternyata bahwa  D < 0. Jadi, persamaan  3 x2 – 4 x + 2 = 0  tidak mempunyai akar real.

3.     Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:

v  menggunakan perkalian faktor,

v  menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.

a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor

Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat   x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai

(x – x1) (x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian kalau akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya ialah (x – x1) (x – x2) = 0.

Contoh 1:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.

Jawab:   (x – x1) (x – x2) = 0

(x – 3) (x – (-2)) = 0

(x – 3) (x + 2) = 0

x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0

x2 – x – 6 = 0.

Contoh 2:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya   dan  !

Jawab:   (x – ) (x – ) = 0

= 0

6 x2 – 2 x – 3 x + 1 = 0

6 x2 – 5 x + 1 = 0

b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar

Persamaan .

Dengan menggunakan x1 + x2 = – dan x1 x2 = , maka akan diperoleh persamaan:

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0.

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.

Jawab:   x1 + x2 = -2 – 3 = – 5

x1 x2 = 6

Jadi, persamaan kuadratnya x2 – (–5)x + 6 = 0   atau   x2 + 5x + 6 = 0.

c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain

Seringkali kita menerima suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya bekerjasama dengan akar-akar persamaan yang lain.

Contoh 1:

Susunlah persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0.

Jawab:

Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 ialah x1 dan x2.  ®  x1 + x2 =  2  ,  x1 x2 = 3.

Jika akar-akar persamaan kuadrat gres ialah p dan q, maka p = x1 + 3 dan  q =  x2 +3

p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3)                        p q = (x1 + 3) (x2 + 3)

= x1 + x2 + 6                                                  = x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9

= 2 + 6 = 8                                                      = 3 + 2(2) = 9 = 18

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q ialah x2 – (p + q) + pq = 0.

Persamaan kuadrat gres ialah x2 – 8x + 18 = 0.

Contoh 2:

Susunlah persamaan kuadrat gres yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0.

Jawab:

Misalkan akar-akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0 ialah x1 dan x2 serta persamaan kuadrat gres ialah a dan b, maka a = 2x1 dan  b = 2x2

a + b = 2(x1 + x2) = 2

a b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 .  = 2

Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:

x2 – (a + b)x + ab = 0.

Persamaan kuadrat gres ialah    x2 – 3x + 2 = 0..

sekian ya rangkuman bahan persamaan kuadratnya agar dapat membantu teman-teman semua.. 

Share this post